[高等数学]已知x→-∞时lim[(x^2-x+1)^0.5-(ax+b)]=0,求a,b

lim[(x^2-x+1)^0.5-(ax+b)]=0
即(x^2-x+1)^0.5-(ax+b)=0
则(x^2-x+1)^0.5=(ax+b)
两边平方
(x^2-x+1)=(ax)^2+b^2+2abx
则a^2=1;
b^2=1;
2ab=-1

原式=lim(x^2-x+1-a^2x^2-2abx-b^2)/(x^2-x+1)^0.5
=lim[(1-a)x^2-(1+2ab)x+1-b^2]/(x^2-x+1)^0.5
=1
1-a=0,1+2ab=-1
所以a=1,b=-1

lim[(x^2-x+1)^0.5-(ax+b)]
=lim{[(x^2-x+1)-(ax+b)^2/[(x^2-x+1)^0.5+(ax+b)]}
=lim{[(1-a^2)x^2-(1+2ab)x+(1-b^2)]/[(x^2-x+1)^0.5+(ax+b)]}=0(x→-∞)
故
1-a^2=0
1+2ab=0
a<0
解得
a=-1
b=0.5

这个问题可以这样看啊！
既然后面有ax+b说明前面也一定是这样的数才能保证结果为0
而(x^2-x+1)^0.5=(x^2-x+1)^0.5/(x^2-x+1)，可以看出得出的结果是趋于x-0.5的，上下同除x,结果是(x-1+1/x)/（1-1/x+1/x^2)^0.5,x→-∞,所以1/x=0,1/x^2=0,所以前面的结果是x-1,所以a=1,b=-1

x^2-x+1=(ax+b)^2 =(ax)^2+2abx+b^2
x^2=(ax)^2
a=1
b=1

x^2-x+1=(ax+b)^2
a=1
b=-0.5